Historia del cálculo

Las principales ideas que apuntalan el cálculo se desarrollaron durante un periodo de tiempo muy largo sin duda. Los primeros pasos fueron dados por los matemáticos griegos. Para los antiguos griegos, los números eran cocientes de enteros así que la recta numérica tenía 'hoyos' en ella. Le dieron la vuelta a esta dificultad usando longitudes, áreas y volúmenes además de números ya que, para los griegos, no todas las longitudes eran números.

INTEGRAL DEFINIDA

LA INTEGRAL DEFINIDA

Cuando estudiamos el problema
del área y el problema de la distancia analizamos que
tanto el valor del área debajo de la gráfica de una función
como la distancia recorrida por un objeto se puede calcular
aproximadamente por medio de sumas o bien exactamente como el límite
de una suma.

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Este tipo de límites aparece
en una gran variedad de situaciones incluso cuando f no es necesariamente
una función positiva. Teniendo en cuenta lo expresado surge la
necesidad de dar un nombre y una notación a este tipo de límites.

Definición 1: Si f es
una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la I>integral
definida de f de a a b, que se indica
es el número:

DEFINICIONES INTEGRALES (Click agrandar imagen)





NOTACION TERMINILOGICA:
tiene animacion la imagen donde se explica cada parte de la integral


Cuando se calcula el valor de la integral definida se dice que se e valúa la integral.

La continuidad asegura que los límites en las tres definiciones existen y dan el mismo valor por eso podemos asegurar que el valor de es el mismo independientemente de cómo elijamos los valores de x para evaluar la función (extremo derecho, extremo izquierdo o cualquier punto en cada subintervalo). Enunciamos entonces una definición más general.


Definición de integral definida: Sea f una función continua definida para a £ x £ b. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho D x = . Sean x0 = a y xn = b y además x0, x1, ...., xn los puntos extremos de cada subintervalo. Elegimos un punto ti en estos subintervalos de modo tal que ti se encuentra en el i-ésimo subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n.

Entonces la integral definida de f de a a b es el número =.


La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.

Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aún cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje x.